\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}

\begin{document}

\textbf{彭赛列闭合定理（Poncelet's Closure Theorem）}：

设平面上给定两条圆锥曲线 $C_1$ 和 $C_2$，若存在一封闭多边形 $P$，满足以下条件：
\begin{enumerate}
    \item $P$ 外切于圆锥曲线 $C_1$；
    \item $P$ 内接于圆锥曲线 $C_2$。
\end{enumerate}
则此封闭多边形 $P$ 内接的圆锥曲线 $C_2$ 上每一个点都是满足这样（切、内外接）性质的封闭多边形的顶点，并且所有满足此性质的封闭多边形的边数相同。

最简明的表述为：一个三角形外接于一个圆 $C_1$，内切于另一个圆 $C_2$，则外接圆 $C_1$ 可以有无数个内接三角形满足其内切圆为上述的同一个圆 $C_2$。

彭赛列闭合定理展示了基于圆锥曲线关系上的一种“群结构”（group structure）关系——“彭赛列结构”（Poncelet type）。这种结构关系可以表示为：若有一个满足某种结构的关系存在，则所有满足这种结构的关系都存在。这一思想可以扩展为更为高维的概念，彭赛列闭合定理只是这种结构关系的其中一种。

\end{document}


# 彭赛列闭合定理（Poncelet's Closure Theorem）

设平面上给定两条圆锥曲线 $C_1$ 和 $C_2$。若存在一封闭多边形 $P$，其外切于圆锥曲线 $C_1$ 且内接于圆锥曲线 $C_2$，则对于圆锥曲线 $C_2$ 上的每一个点，都存在一个满足同样性质（即外切 $C_1$ 且内接 $C_2$）的封闭多边形，并且所有满足此性质的封闭多边形的边数相同。

最简明的表述为：一个三角形外接于一个圆 $C_1$，内切于另一个圆 $C_2$，则外接圆 $C_1$ 可以有无数个内接三角形满足其内切圆为上述的同一个圆 $C_2$。

彭赛列闭合定理揭示了基于圆锥曲线关系上的一种“群结构”（group structure）关系，即“彭赛列结构”（Poncelet type）。用数学语言表述为：

设存在一种满足特定结构的关系（如一个封闭多边形外切于 $C_1$ 且内接于 $C_2$），则所有满足这种结构的关系都存在，并且可以扩展为更为高维的概念。彭赛列闭合定理只是这种结构关系的其中一种。

以下是LaTeX公式的Markdown表示：

- 外切于圆锥曲线 $C_1$ 且内接于圆锥曲线 $C_2$：表示为 $P \text{ tangent to } C_1 \text{ and inscribed in } C_2$
- 外接圆 $C_1$ 和内切圆 $C_2$：表示为 $\text{circumcircle } C_1 \text{ and incircle } C_2$

在Markdown中，为了展示数学公式，我们通常使用`$$`来包围LaTeX公式，如下所示：

$$ P \text{ tangent to } C_1 \text{ and inscribed in } C_2 $$

$$ \text{circumcircle } C_1 \text{ and incircle } C_2 $$

